БЖ и ребенок претендовать на квартиру мужа не могут. Ребенок сможет претендовать на эту квартиру только в качестве наследника после смерти своего отца, если он не распорядится квартирой в пользу другого лица путем составления завещания.
Выписать ребенка можно с любого возраста, но ребенка нельзя просто снять с учета. Кроме того, если БМ прописан в квартире, то просто выписать ребенка из квартиры он не сможет.
Но прописка не предоставляет никаких существенных прав, она лишь фиксирует право пользования жилым помещением.