Договор найма означает право проживания в квартире. Выписка из домовой Вам не поможет, поскольку там данных о Вас без регистрации не будет.
Договор найма заключается путем подписания сторонами: нанимателем и наймодателем. Если он заключен на срок менее года, то он нигде не регистрируется. Детей вписать в договор найма можно (что для школы). По закону, место жительство детей и так является местом жительства их родителей.